Il teorema di Pitagora prima di Euclide

Flavio Ubaldini racconta nel suo blog di come si possa trovare la dimostrazione di un caso particolare del teorema di Pitagora in uno dei dialoghi platoniani, il Menone: Socrate prende uno schiavo e mediante la famigerata maieutica gli fa dimostrare che se abbiamo un triangolo rettangolo con i due cateti uguali l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è il doppio di quella del quadrato costruito su un cateto. Vabbè, per quanto mi riguarda la maieutica è semplicemente il modo in cui chi sa qualcosa fa sì che il suo interlocutore ascolti gli aiuti che gli vengono dati e tiri fuori la risposta pur senza saperla, ma non divaghiamo. La domanda di Flavio è un’altra: “Ma è stato davvero Euclide a dimostrare per primo il teorema di Pitagora?”

Ve lo dico subito. Io non ho prove, ma per me la risposta è un secco no. Intendiamoci, io parlo di una dimostrazione, non della conoscenza del teorema: è abbastanza assodato che i babilonesi e forse gli egizi lo conoscessero già, ma non sapessero dimostrarlo, né gli sarebbe comunque venuto in mente di farlo. Il punto è che la dimostrazione di Euclide, che potete per esempio vedere qui, pare chiaramente fatta per intimorire il lettore. Schopenhauer non aveva tutti i torti quando scrisse che nella dimostrazione di Euclide “si disegnano delle righe e non sappiamo il perché, e solo in seguito scopriamo che erano una trappola (“eine Mausefallenbeweise”) che si chiude all’improvviso e imprigionano il consenso dell’attonito studente”. Euclide aveva le sue buone ragioni per terminare il suo primo libro degli Elementi con questa proposizione, anzi per amor di precisione con quella successiva che è il suo inverso; era un exploit per mostrare che i teoremi di uguaglianza delle aree che aveva dimostrato in precedenza avevano una certa utilità. Ma è molto probabile che la prima dimostrazione trovata fosse sulle stesse linee di quella del Menone ma più generale.

Nella figura qui sopra vedete due quadrati uguali suddivisi in modo diverso. I quattro triangoli rettangoli A, B, C, D sono tutti uguali tra di loro, semplicemente posizionati in modo diverso; i quadrati colorati sono quello costruito sull’ipotenusa da una parte, e quelli costruiti sui cateti dall’altra: il teorema di Pitagora ne segue immediatamente. Una dimostrazione di questo tipo è perfettamente valida (se si accetta l’assunto che spostare una figura non ne cambi la superficie, ma spero che me lo concediate), e alla portata della matematica greca da ben prima di Euclide, anche se posso immaginare come per un precisino come lui potesse sembrare raffazzonata perché non usa la struttura tipica delle sue dimostrazioni. Certo Platone avrebbe potuto farla usare a Socrate, al posto di quella semplificata che troviamo nel dialogo: ma mi sa che la temesse troppo difficile per il filosofo medio…

P.S.: avevo già raccontato la storia tanti anni fa sul Post, qui una copia del testo. Decidete voi quale delle due spiegazioni è la migliore.

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